Clase1:
En la primera clase de Matemática Avanzada, se nos explico la metodología de trabajo, la importancia de crear y mantener este blog y algunos de sus beneficios. En resumen, se tomó muy en cuenta la digitalización de los documentos que servirán como evidencia de nuestro paso por este curso. Para terminar la clase la ingeniera nos mostró como tomar la iniciativa para la familiarización con el sitio de gmail, -que prácticamente nos sirve como aula virtual- y por último se mostró un video de superación.
Clase 2:
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Forma algebraica:
z=x+iy ; donde x e y pertenecen al campo de los reales; i es igual a la raíz de -1.
Además como recordatorio se muestra la clasificación de los números:
·Si Re(z) = 0 entonces z es un número imaginario puro. z=iy
·Si img(z)=0, entonces z es un número real. z=x
Igualdad de complejos
Dados z1=x1+iy1 y z2=x2+iy2, entonces:
z1=z2 si solo si x1=x2 y y1=y2
Suma de complejos
Dados z1=x1+iy1 y z2=x2+iy2, entonces:
z1+z2=(x1+iy1) + (x2+iy2)
=(x1+x2)+i(y1+y2)
·Cabe recalcar que la suma de complejos cumple:
Propiedad clausurativa
Propiedad conmutativa
Inverso aditivo (opuesto de z)
Producto de complejos
Dados z1=x1+iy1 y z2=x2+iy2, entonces:
z1 ·z2=(x1 + iy1)(x2+iy2)
=x1x2 + ix2y1 + ix1y2 + i^2 * y1y2
z3= (x1x2-y1y2) + i(x2y1+x1y2)
·El producto de compleejos cumple:
Propiedad clausurativa
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad distributiva
Potencias de i
i=(-1)^(1/2)
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
...
i^n=i^(n-1)*i
Para poder determinar que valor le corresponde a un i elevado a la n, entonces se divide n para 4, y se toma en cuenta el residuo. Si el residuo es 0, entonces i^nerá equivalente a i^0. Si el residuo es 1, entonces i^n será equivalente a i^1. Así, es necesario solo es necesario deducir desde i^0 hasta i^4.
Conjugado de z
Dado z=x+iy, entonces su conjugado será:
(Conjugado de z) = x-iy
z*(Conjugado de z) = (x+iy)(x-iy)
=x^2 + y ^2
*Multiplicando por el conjugado desaparece la parte imaginaria*
División de complejos
Dado z1=a+ib y z2=c+id, entonces z1 / z2 =
Semana 2:
Clase 3:
Módulo de un complejo:
Donde:
|z|=(x^2+y^2)^(1/2)
z*(conjugado de z)= (x+iy)(x-iy)
= |z|^2
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Del gráfico se tiene:
sen (theta) = y/r cos (theta) = x/r
y = r sen (theta) x = r cos(theta)
Donde theta es el argumento de z y r es el módulo de z.
Entonces para la transformación de rectangulares a polares:
z = x+iy
z = r cos (theta) + i r sen (theta)
z = r(cos (theta) + i sin (theta)) <-- Forma trigonométrica completa
z = r cis (theta) <-- Forma trigonométrica reducida *cis(theta) = cos (theta) + i sen (theta)
Para encontrar el argumento de z, dividimos y/x, obteniendo:
(theta) = arc tan (y/x)
Propiedades
Sean z,w números complejos, entonces se cumple:
1. z*(conjugado de z) = |z|
2. |z| |w| = |zw|
3. Si w es diferente de 0, entonces |z/w| = |z| / |w|
4. arg (zw( = arg (z) + arg (w)
5. arg (z/w) = arg (z) - arg (w)
6. Si a pertenece a los reales positivos, entonces z y z*a tienen igual argumento.
Producto
Dado z1 = r1 cis (theta1) y z2 = r2 cis (theta2), entonces:
z1*z2 = (r1cis (theta1)) (r2 cis (theta2))
z1*z2= (r1*r2)(cis (theta1 -theta 2))
División
Dado z1 = r1 cis (theta1) y z2 = r2 cis (theta2), y z2 diferente de 0, entonces:
z1/z2 = r1/r2 cis (theta1-theta2)
Algunos ejercicios resueltos sobre este tema en el siguiente enlace:
Clase 4:
Potenciación (Teorema de Moivre)
Sea z = r cis (theta)
z^n = (r cis /theta))^n ; n es natural
z^n = r^n cis (n*theta)
Radicación
Sea z = r cis (theta)
z^(1/n) = (r cis /theta))^(1/n) ; n es natural
z^n = r^(1/n) cis ((theta+2 π k)/n) ; k = 0,1,2, ... n-1
Algunos ejemplos de radicación:
Exponenciales Complejos
La serie de maclurin para la función exponencial es:
Y para los complejos es:
Fórmula de Euler:
Para demostrar esta fórmula se toma un imaginario puro (z=iy) , y se aplica la formula exponencial de la serie de Maclaurin e^z, obtenieéndose una parte real y una imaginaria. Qué observandolas bien la primera es la serie de Macalurin para el coseno y la segundo es la serie de Maclaurin para el seno.
A partir de está fórmula se pueden deducir las siguientes:
Ahora, si la forma polar la relacionamos con la forma exponencial, se podrá obtener:
z = r e^(iθ)obteniéndose así la forma exponencial de un número complejo.
Semana 3:
Clase 5:
Logaritmos de número complejos
Para esta parte se muestra un video explicativo sobre los logaritmos:
Clase 6:
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
f : C---> C
z ---> w=f(z)
El conjunto de salida y el conjunto de llegada son los números complejos
Para calcular la imagen de z se la realiza como en las funciones reales.
Funciones de este tipo es complicado graficar en el plano ya que se parte de un par ordenado (x,y) y se llega a otro (a,b).
Algo más sobre las funciones de variable compleja:
Límites:
Al igual que en las funciones reales. De una función de variable compleja se puede obtener el límite. La definición de límite es similar a la estudiada en funciones reales.
En el siguiente enlace se muestra detalladamente la definición de límites y algunas propiedades:
Semana 4:
Clase 7:
Continuidad:
Cuando la función es discontinua existen dos posiblidades: Una que sea redefinible ( discontinuidad evitable) y la otra que no. Cuando el límite de f(z) cuando z-->z0, no existe entonces la discontinuidad es inevitable.
Clase 8:
Derivadas:
No hay comentarios:
Publicar un comentario