Marzo

Semana 5:
Clase 9:
(Feriado)
Clase 10:
FUNCIONES ANALÍTICAS
f(z) es analítica  en Zo si y solo si f es derivable para todo Z de algún disco D | Z-Zo|< r

Propiedades

Si  f (z) = u(x,y)+i v(x,y) analítica en algún dominio, entonces u,v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemman para todo (x,y) del dominio:

Si u(x,y) y v(x,y) y sus primeras derivadas parciales son continuas y ademas cumplen las ECR entonces la función es analilítica

Sea f(z) analítica en un cierto dominio, entonces u y v son armónicas es decir cumplen:

En el siguiente enlace a partir de la pág 22, se muestran ejercicios y se amplía las ECR en forma compleja.

http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/3_Funciones_Analiticas.pdf

Semana 6:
Clase 11:
En esta clase se realizó ejercicios para determinar si una función es analítica o no:
Este video amplia el concepto de las ECR y su relación con las derivadas, y muestra un ejercicio:
Video explicativo ECR

Se realiza ejercicios también sobre si las funciones dadas cumplen las ECR en un punto determinado, utilizando la definición de derivada:
ECR en general
ECR en un punto determinado:

Por último se muestra algunas de las funciones trascendentales: Funciones exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas y logarítmicas, mostrándose además algunas identidades.

Más detalladamente este tema: Funciones trascendentales

Clase 12:

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

Para la integración en el plano complejo, se aplican las reglas y propiedades de la integración de funciones reales, salvo que el caso de funciones que sean eminentemente complejas, tales como: | z | o   , en las cuales se debe aplicar propiedades y teoremas específicos. En el caso de integrales indefinidas (antiderivadas) de funciones analítica se mantiene la analogía con funciones reales, Sin embargo se presentan diferencias debido a que:

i) En los números reales es posible graficar la integral como una suma de Riemman, pero en los complejos se dificulta debido a que no se puede graficar en el mismo plano la función vs el dominio.

ii) Como los números complejos se representan en el plano complejo, las integrales a utilizarse son las de línea.

iii) En las integrales de línea cerrada se presentan propiedades únicas para los números complejos: La integral de Cauchy.

Integrales indefinidas:

CURVAS EN EL PLANO COMPLEJO:

Curvas en el plano complejo

· Parametrización de curvas

· Curvas diferenciables

Semana 7:
Clase 13:

INTEGRALES DE LÍNEA

Integrales de línea

·Conjuntos simplemente conexos

·Ejemplos aplicando la propiedad de las integrales de línea:

Clase 14:

·Ejercicios aplicando la propiedad 6:

·Longitud de una curva

Integrales Cerradas:

Propiedad 1:

Teorema de la Integral de Cauchy

Propiedad 2: Independencia de la trayectoria

Semana 8:
Clase 15:
Propiedad 3: Teorema de la deformación
Propiedad 4: Integral de Cauchy
Propiedad 5: Fórmula de la integral de Cauchy para derivadas superiores

Resumen